2025年6月13日上午，清华大学何凌冰教授受邀进行了一场精彩的线上学术报告。报告会由数学与信息科学学院孙宝燕老师主持。

何凌冰教授个人基本情况、科研成果概况：

何凌冰，清华大学数学系教授、博士生导师，博士毕业于中国科学院，师从张平院士。主要研究动理学方程与流体力学方程组解的适定性，正则性和收敛性等问题。研究成果先后发表在J. Eur. Math. Soc., Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Ann. PDE, Comm. Math. Phys., Arch. Ration. Mech. Anal., Math. Ann., SIAM J. Math. Anal.等国际主流数学杂志发表论文40余篇。

何凌冰教授报告共分成五个部分：

（1）首先介绍玻尔兹曼方程的物理背景和应景价值。在描述流体运动时，当考虑不同的物理尺度时可以得到不同的运动方程。在宏观层次，有著名的Euler方程组和Navier-Stokes方程组。在微观层次，相应的运动模型由描述单个粒子运动耦合的牛顿方程构成。介于两者之间的一个重要的介观模型是玻尔兹曼方程，这是描述稀薄气体中大量中性粒子通过相互碰撞而产生的各种物理现象随时间的统计演化。何老师介绍玻尔兹曼方程的结构，各个变量的物理含义，方程保持质量、动量和能量守恒，熵是单调递减的。给出碰撞核的假设条件，并定义非角截断碰撞算子。对已有结果给出介绍，并说明对于玻尔兹曼方程研究的困难点。上世纪90年代，Lions因在玻尔兹曼方程以及流体方程上的重大突破获得1994年的菲尔兹奖。2010年，Villani在动理学方程收敛至平衡态的问题以及朗道阻尼的研究而获得菲尔兹奖。未解决的关键问题有大初值全局解的存在性：非截断软势下是否总存在光滑解？最优收敛速率：非截断核的收敛速率是否可达指数级？高维问题：三维以上空间的奇异解构造。量子玻尔兹曼方程：低温下量子效应（如玻色-爱因斯坦凝聚）对解的影响。

（2）玻尔兹曼方程在非角截断硬势情形下的局部适定性结果。对于该问题的研究存在两个主要困难点：1、证明方程解的正则性的传播、非负性和唯一性。举例详细说明右端项无法被左端项控制住，从而无法利用Gronwall不等式来封闭估计。2、证明非角截断碰撞算子的一致估计和能量估计，从而取极限可以得到方程的适定性结论。首先给出函数空间选取的定义，保证能量空间和初值是相容的。介绍何凌冰老师与合作者江金城和周玉龙所取得的研究成果，玻尔兹曼方程在非角截断硬势情形下的局部适定性结果。证明思路是利用Povnzer不等式和碰撞算子的分解技巧，利用速度平均引理将速度变量正则性转移到空间变量，借助自助方法提高正则性。

（3）玻尔兹曼方程软势情形下解在指数权空间中的局部适定性结果。首先假设质量和能量分别有界并且质量远离真空，对于初值给出一定假设条件，可以得到尔兹曼方程在标准指数扰动下软势情形的局部适定性结果。也可以得到解的Gevrey正则性，该正则性指标是最优的。空间均匀玻尔兹曼方程与分数阶热方程类似，空间非均匀玻尔兹曼方程与分数阶Fokker-Planck方程类似。这一观察非常深刻！空间均匀与非均匀的玻尔兹曼方程与分数阶方程之间的类比，揭示了二者在数学结构、物理机制和分析技术上的内在联系。以下从数学形式、物理意义和分析工具三个维度展开讨论，并指出相关研究的前沿进展。

（4）玻尔兹曼方程在软势情形下解在多项式权空间中的正则性结果。何老师介绍与合作者证明的弱解的正则性估计和经典解的正则性结果。以下结合与合作者的研究经验，系统总结相关结果、难点及解决技巧，强调解决该类问题所遇到的困难点，并且给出克服困难的技巧。线性化算子 在软势下仍满足谱间隙，但需依赖速度权重。通过能量方法或傅里叶分析控制高阶导数。以上结果和技术体现了玻尔兹曼方程研究中硬分析（如微局部分析）与软工具（如熵方法）的深度融合。

（5）报告最后给出几个公开问题。证明在多项式扰动下软势的整体存在性结果以及光滑性结果。对于该类公开问题面临很大的困难，也是国际上的关注点，鉴于现有的理论框架还无法解决。但这些公开问题会带来新的启发。玻尔兹曼方程的研究已从经典的存在性/唯一性理论，扩展到非局部、非线性及多尺度分析的深水区。未来，随着数学工具（如随机几何、人工智能辅助分析）的发展，该领域有望在理论、计算和应用层面实现更大突破。如需特定子方向的细节（如非截断核或流体极限），可进一步探讨。

最后何凌冰老师通过分享自身的求学和科研经历，向现场师生分享了自己的科研心得。其次，无论是做科研还是做事情，要从点到线，然后到面，循序渐进；另外，我们既要注重学术研究，又要有成果落地；再次，做一件事情要坚持，要敢于做冷板凳，尤其是数学这种基础学科；最后，一定要有家国情怀，利用自身所学真正为国家多做一点贡献。在玻尔兹曼方程及相关动理学方程的研究中，若要进一步推动理论突破或应用拓展，可结合当前领域难点和新兴工具。玻尔兹曼方程的研究已进入"深水区"，需在理论深度（如非局部算子）、技术交叉（AI+数学）、应用落地（聚变能源）三方面协同突破。建议以具体问题为切入点（如选定软势模型），逐步推进至一般情形。如需某方向的具体文献或合作者推荐，可进一步探讨。

在报告的最后，何凌冰老师与师生进行了热切交流，并耐心解答疑问，提供解决问题的思路。