2025年11月15日下午，北京大学数学科学学院王家军教授做客“北大、清华两校名师讲堂”，面向全校师生作“数学及其交叉应用”主题学术报告。报告会由数学与信息科学学院副院长王广富主持。

王家军教授，从个人科研背景、Heegaard Floer同调理论基础、核心研究成果、应用场景及学术价值五个方面展开报告。

首先，王教授向师生普及了Heegaard Floer同调的理论背景与基本构造。在低维拓扑研究的长期发展中，学者们始终面临着“如何精准区分拓扑空间细微差异”的核心难题，传统拓扑不变量如基本群、同调群等，虽能刻画空间的基础拓扑性质，但在处理结构复杂的三维流形时往往存在局限，无法识别部分形态相近却本质不同的空间类型。该理论由Peter Ozsvath与Zoltan Szabo于2000年首次提出，正是为解决这一困境而生，成为近二十年低维拓扑领域最具突破性的不变量理论。其核心构造以三维流形的Heegaard分解为基石——任何紧致连通的三维流形都可拆分为两个亏格为g的实心环面，二者的公共边界即为Heegaard曲面。在这一分解曲面上，通过定义两组互不相交的对偶α-曲线与β-曲线，搭配特定标记点构建链复形，再结合辛几何中的全纯圆盘计数方法进行同调运算，最终得到兼具几何直观性与代数严谨性的拓扑不变量。这一构造将几何形态的直观性与代数运算的严谨性完美融合，既让抽象的拓扑概念有了可感知的几何载体，又通过标准化的代数流程保证了计算结果的可靠性，有效弥补了传统不变量的不足，为低维拓扑研究提供了全新的技术路径。

其次，王教授重点介绍了Heegaard Floer同调的三大核心应用场景，为师生梳理理论的实践价值：三维流形拓扑分类中，该理论展现出极强的精准性与实用性。Thurston几何化猜想的证明为三维流形分类提供了理论框架，Heegaard Floer同调则成为落实这一框架的关键工具——通过计算流形的Heegaard Floer同调群，可精准检测Thurston范数，该范数能够量化流形的“复杂度”，为流形分类提供核心参考；同时，还能有效判断三维流形是否为“纤维化流形”，即能否表示为圆周在某一曲面上的纤维丛，这一判断对理解流形的几何结构与动力学性质具有重要意义，成为几何化分类中不可或缺的核心工具。纽结理论中，Heegaard Floer同调的衍生分支“纽结Floer同调”实现了对传统不变量的超越。传统亚历山大多项式、琼斯多项式等不变量在区分部分同痕纽结时往往失效，而纽结Floer同调不仅能精准识别这些“难辨纽结”，还能直接计算纽结亏格与解结数，这些关键参数的精准获取，为纽结理论的基础研究与实际应用提供了核心支撑，使其成为当前最精细的纽结不变量之一。与基本群关联研究中，Heegaard Floer同调搭建起代数结构与拓扑本质的桥梁。基本群作为刻画拓扑空间“洞”结构的核心代数对象，其性质分析一直是拓扑学的难点，Heegaard Floer同调通过解析同调群的秩、挠子结构等代数信息，可反向推导基本群的可解性、有限生成性等关键性质，为处理传统代数工具难以应对的基本群问题提供了全新思路，帮助学者更深刻地理解空间的代数拓扑本质。

最后，王教授总结了Heegaard Floer同调的学术交叉性与拓展价值：该理论以辛几何为基础，服务低维拓扑核心问题，同时与群论、代数几何、数学物理等多个领域存在深刻的内在关联，形成了“基础理论—核心应用—跨学科延伸”的完整学术体系。近年来，其应用范围已逐步延伸至切触拓扑、四维流形等前沿方向——在切触拓扑中，通过Heegaard Floer同调构造切触结构的不变量，为切触结构的分类与性质研究提供了新工具；四维流形研究中，与Seiberg-Witten不变量的结合，为解析四维流形的拓扑性质开辟了新路径。此外，王教授团队研发的高效计算算法，通过优化链复形构建流程与同调运算步骤，大幅降低了理论的计算门槛，使原本复杂的运算过程得以标准化、便捷化，为该理论的普及与推广奠定了坚实基础，让更多研究者能够运用这一工具开展相关研究。王教授的此次报告，不仅系统梳理了Heegaard Floer同调理论的发展脉络、核心构造与应用场景，更以理论的交叉性为切入点，展现了现代数学“多领域联动、理论与实践互促”的发展趋势。这场报告不仅是一次专业知识的深度科普，更是一次科研思维的启发。王教授强调的“几何构造+代数计算+应用拓展”研究思路，为青年学者指明了从理论学习到科研创新的转化路径。

王教授结合自身研究经历，向在场师生分享了科研心得：拓扑学研究需遵循“几何构造+代数计算+应用拓展”的思路，既要深耕理论基础，筑牢知识体系的根基，又要注重跨学科融合，打破学科壁垒，在不同研究领域的交叉点寻找创新突破点。抽象数学工具并非孤立存在的理论符号，而是解决实际学术问题的“精密标尺”与“学术纽带”。王教授以自身团队的研究为例，讲述了如何通过坚守这一思路，在Heegaard Floer同调的理论完善与应用拓展中取得多项突破性成果，为青年学者提供了宝贵的实践借鉴。

报告结束后，王教授与现场师生就理论计算优化、应用场景拓展等问题深入交流，针对师生提出的“高亏格三维流形的计算效率提升”“理论在量子拓扑中的潜在应用”等问题，逐一进行细致解答，并分享了相关领域的最新研究动态与未来发展方向，为相关领域后续研究提供了宝贵思路。

王家军，北京大学数学科学学院教授，博士生导师，国家杰出青年科学基金获得者，低维拓扑与规范场理论领域领军学者，长期深耕几何与拓扑教学科研，曾获“求是杰出青年学者奖”，研究聚焦低维拓扑、双曲几何及规范场理论，在Heegaard Floer同调领域开展开创性工作，成果发表于《Annals of Mathematics》等国际数学顶刊，学术影响力广受认可。