2025年11月15日下午，清华大学张立平教授做客“北大、清华两校名师讲堂”，面向全校师生作“数学及其交叉应用”主题学术报告。报告会由数学与信息科学学院副院长王广富主持。

张立平教授从个人基本情况、科研成果概况、自动控制领域的关键难题、彩色视频恢复的工程需求四个方面展开报告。报告的核心内容围绕新型张量谱理论的创新成果展开。

首先，张立平教授提出了“张量”的概念。张教授指出在自动控制领域的关键难题解析环节，多元形式的正定性判定是系统稳定性分析的核心基础，直接关系到航空航天、工业控制、智能装备等诸多关键领域的技术安全与性能提升。然而，传统判定方法面临着计算复杂度高、高维场景适应性差、工程落地难度大等突出问题，长期以来成为制约复杂系统优化设计的“卡脖子”瓶颈。为破解这一难题，张立平教授团队经过多年潜心研究，创新性地将矩阵领域成熟的M-矩阵概念拓展至张量范畴，首次提出“M-张量”与“强M-张量”的科学定义，建立起一套完整的张量正定性判定理论体系。在此基础上，团队研发出两类高效算法：Collatz型方法凭借线性收敛特性，能够快速完成张量正定性的初步判定，满足实时性分析需求；平滑牛顿法则以二次收敛速度实现高精度计算，大幅提升了高维复杂场景下的判定效率。这两类算法不仅填补了张量正定性判定的方法空白，更成功应用于超图谱理论、高阶马尔科夫链分析等大数据建模场景，为自动控制中复杂系统的稳定性分析提供了实用工具，推动了控制工程领域的技术升级与发展。

其次，张教授向师生们介绍了彩色视频恢复的工程需求，深入剖析了该领域的技术痛点与创新方向。在数字化时代，彩色视频已成为信息传播、文化娱乐、安防监控等领域的核心载体，然而视频数据在采集、传输、存储过程中极易出现破损、失真等问题，严重影响信息的有效传递。传统彩色视频处理方式常将RGB通道独立分析，这种分离式处理模式极易丢失色彩间的耦合信息，导致恢复精度不足、色彩失真等问题，难以满足高清视频、专业影像等高端应用场景的需求。针对这一现状，张立平教授团队另辟蹊径，创新性地引入“四元数张量”来表示彩色视频，通过四元数的虚部分别对应RGB通道，实现了色彩耦合信息的完整保留，从根本上解决了传统方法的技术缺陷。为支撑这一创新表示方法的实际应用，团队进一步提出适用于三阶四元数张量的新型张量积，并基于这一乘积规则，定义了三阶四元数张量的奇异值分解规则与张量秩，更从理论上严格证明了“三阶四元数张量的最佳k秩逼近存在性”，为彩色视频的低秩建模提供了坚实的理论基础。为验证方法有效性，团队开展了大量数值实验，通过低秩四元数张量补全模型处理多组残缺彩色视频，实验结果显示，该方法在恢复精度上较传统技术提升30%以上，计算效率提高2倍，同时能有效避免色彩侵染问题，为视频修复、数据压缩等计算机视觉任务提供了新的技术路径，已在影视后期制作、安防视频还原等领域展现出广阔的应用前景。

最后，张立平教授对研究成果进行了总结，其团队的研究始终以“工程痛点提炼数学问题、理论创新破解实践难题”为主线，既拓展了新型矩阵（张量）谱理论的学术边界，丰富了高阶数据处理的数学框架，也实现了数学方法与自动控制、计算机视觉领域的深度交叉落地，是基础研究服务实际需求的典型范例。整场报告清晰展现了“数学理论到交叉应用”的完整研究路径，为在场科研工作者提供了宝贵的研究参考。

张立平教授结合自身深厚的学术积淀与丰富的研究生指导经验，围绕研究生阶段的核心学习要点展开了真诚分享。她着重强调，基础学习是研究生阶段的根基所在，数学作为自然科学的基础，其严谨的逻辑思维与解决问题的方法体系，是开展一切科研工作的前提。因此，研究生不仅要扎实掌握专业核心理论与研究方法，更要注重知识体系的系统性构建，通过深入理解数学原理，培养科学的思维方式，为后续深入研究筑牢根基。同时，张教授鼓励学生们打破学科壁垒，开展多方向、跨领域的拓展学习，通过广泛涉猎计算机、工程、物理等相关学科知识，参与不同类型的科研项目，拓宽学术视野、提升综合素养。她以自身研究经历为例，讲述了如何将优化理论与自动控制、计算机视觉等领域结合，最终取得突破性成果的过程，激励在场学生既要敢于坐“冷板凳”深耕基础研究，也要保持对现实需求的敏感度，让学术研究真正服务于国家发展与社会进步。

报告结束后，师生们踊跃提问，围绕张量算法的优化空间、四元数张量在其他领域的应用潜力、研究生科研入门路径等问题与张立平教授展开深入探讨。此次报告不仅为两校师生带来了新型张量谱理论的前沿知识，更传递了“理论联系实际、科研服务社会”的学术理念，对于推动数学与工程领域的交叉融合、助力青年科研人才成长具有重要意义。

张立平，清华大学长聘教授，博士生导师，研究方向优化理论算法及应用、机器学习、强化学习，在大规模高维数据处理建模、优化算法及张量特征值理论等方面取得了重要研究成果。已在JMLR、Math Program、SIAM、J Matrix Anal Appl、MOR 等优化和计算数学国内外核心期刊发表论文60多篇，连续获得多项国 家自然科学基金面上资助和1项科技部重点研发专项资助。曾获得教育部自然科学奖二等奖和北京市科学技术奖二等奖，其研究始终兼顾理论深度与工程实用性。