2026年6月6日上午，清华大学苏春梅教授做客“北大、清华两校名师讲堂”，面向全校师生作“计算科学中的前沿问题”主题学术报告。报告会由数学与信息科学学院院长陈传军主持。

苏春梅教授的报告围绕几何偏微分方程中曲面与曲线演化的数值模拟展开，系统介绍了其团队在参数化有限元方法的高阶时间离散方面取得的系列创新成果。报告从网格质量这一核心难点出发，深入阐述了基于BGN格式的高阶方法的构造思路、理论分析与数值实现，并通过丰富的数值实验展示了该方法在保持演化过程中网格均匀性方面的显著优势。

苏春梅教授首先从几何流的基本概念谈起。几何流是指曲线、曲面等几何对象按照某种曲率相关的速度进行演化的过程，典型的例子包括曲线缩短流、平均曲率流、Willmore流等。这类方程在材料科学中的晶界运动、生物膜形变、图像处理中的边缘检测、计算机图形学中的曲面平滑等领域具有广泛应用。然而，几何流的数值模拟长期面临一个棘手的难题：网格质量会随着演化而急剧恶化。

苏教授形象地解释道：“我们可以把初始的曲线或曲面想象成一个均匀的橡皮膜，上面画着等间距的网格。当膜按照曲率运动时，有些区域会拉伸，有些区域会收缩，网格点就会聚集到某些地方，而在另一些地方变得稀疏。严重时，网格线甚至会发生交叉或缠绕，导致计算彻底崩溃。”传统数值方法往往只关注演化位置的精度，而忽略了网格点本身的分布质量，因此在大变形或长时间模拟中常常失效。

为克服这一困难，苏教授团队将研究重点放在了参数化有限元框架下的网格质量控制技术上，特别是近年来备受关注的BGN格式（以Barrett、Garcke、Nürnberg三位学者命名的一种参数化有限元格式）。该格式通过引入合适的弱形式，能够自然地保持网格在演化过程中的均匀性，但其时间离散通常只做到一阶精度。苏教授团队的工作正是将BGN格式推广到时间高阶，同时保持其优异的网格质量特性。

苏春梅教授详细介绍了他们提出的高阶参数化有限元方法的核心思想。传统BGN格式将曲线或曲面视为时间相关的参数化映射，其半离散形式（空间离散后）得到一个关于节点位置的时间常微分方程组。然而，直接对该方程组应用高阶时间推进（如经典的四阶龙格-库塔方法）会破坏原格式的几何结构，导致网格质量迅速下降。

苏教授团队的关键创新在于：他们重新设计了一个“几何相容的”高阶时间离散框架。具体而言，他们将演化速度场分解为法向分量（驱动形状变化）和切向分量（控制网格重参数化）。通过精心构造切向速度的离散方式，使得高阶格式在每一步都能自动调整节点的切向运动，从而保持相邻网格点之间弧长或面积分布的均匀性。苏教授在报告中给出了清晰的数学推导：新格式在每一个时间子步中都加入了一个“网格均匀化”的反馈项，该反馈项的系数由当前网格的畸变程度动态决定。

理论分析表明，该方法在时间方向上可以达到二阶、三阶甚至四阶精度，同时严格保证演化过程中不会出现网格缠绕或退化。苏教授特别指出，这种“高阶精度与网格质量兼容”的特性在国际上尚属首创，相关成果已发表在计算数学顶级期刊上。

为验证方法的有效性，苏春梅教授团队开展了一系列系统的数值实验。报告展示了多个典型算例：

算例一：椭圆曲线缩短流。将一个长轴与短轴比为4:1的椭圆初始轮廓置于平面中，在曲线缩短流的作用下，椭圆逐渐趋近于圆并最终收缩到一个点。传统一阶BGN格式在演化初期网格分布尚可，但随着曲率变化加剧，椭圆的长轴两端出现明显的网格堆积，而短轴两侧网格变得稀疏。相比之下，苏教授团队的高阶BGN格式在整个演化过程中网格点始终均匀分布，且椭圆面积衰减速率与理论值高度吻合。定量比较显示，新方法的时间收敛阶达到二阶，而传统方法仅为一阶。

算例二：三维曲面上的平均曲率流。以一个哑铃形状的初始曲面为例，在平均曲率流作用下，曲面颈部会逐渐收缩并最终断开。这是检验网格质量的一个极具挑战性的测试。传统方法在颈部变细阶段容易出现网格拉伸过度甚至穿透。苏教授团队的三阶格式成功模拟了从颈部收缩到完全分离的全过程，且在分离时刻附近网格仍保持良好质量。计算效率方面，由于允许使用更大的时间步长达到相同精度，新方法比传统一阶格式节省了约40%的计算时间。

算例三：Willmore流模拟红细胞形变。 苏教授还展示了该方法在生物膜力学中的应用。红细胞的平衡形状是双凹碟形，而初始形状为球形。在Willmore流（弯曲能量梯度流）的驱动下，球形逐渐演化为双凹碟形。高阶BGN格式准确捕捉到了演化过程中膜表面的精细褶皱结构，而一阶格式由于数值耗散过大，所得最终形状与真实红细胞存在明显偏差。

以上数值实验充分证明了该方法在保持网格质量的前提下实现预期的高阶收敛性，为长时间、大变形几何流的精确模拟提供了可靠工具。

苏春梅教授在报告中也介绍了方法背后的数学理论支撑。她指出，参数化有限元方法的核心在于如何合理处理切向自由度。传统观点认为，几何演化只依赖于法向速度，切向速度可以任意选择而不改变几何轨迹。但这一“任意性”在离散情况下会严重影响网格质量。苏教授团队的工作实际上给出了切向速度的一个“最优选择”：既满足时间高阶相容性，又能最小化网格畸变。

该理论框架还具有较强的通用性。苏教授展示了如何将时间高阶BGN格式推广到带曲率依赖边界条件的几何流、多相界面演化、以及曲面上的偏微分方程耦合系统。例如，在模拟固体薄膜表面扩散时，曲面演化与表面浓度场相互耦合，传统方法往往需要极小的步长来维持稳定性，而高阶BGN格式在步长放大三倍后仍然保持收敛。

苏春梅教授强调，时间高阶参数化有限元方法不仅具有重要的理论意义，更在实际工程中展现出广阔的应用前景。在材料科学领域，该方法可用于模拟金属热处理中的晶粒长大、相变过程中的界面迁移；在生物力学领域，可用于研究细胞膜的泡化、内吞作用等形变过程；在计算机图形学中，则可实现高质量的三维曲面平滑与细化。

从计算数学学科发展的角度看，这一工作填补了高阶时间离散在曲线曲面演化问题中的空白，为后续研究提供了新的思路。苏教授特别指出，将几何结构保持特性与高阶精度相结合，是未来数值方法发展的重要方向之一。她的研究也启发在场师生：很多时候，提高算法阶数不仅仅是数学上的“锦上添花”，更是解决实际瓶颈问题的必要手段。

在报告的最后，苏春梅教授结合自身跨国家、跨机构的求学与科研经历，与在场师生分享了科研心得。她鼓励年轻学子打好数值分析和偏微分方程理论的基础，同时主动学习编程与并行计算技能。“一个好的算法，既要有漂亮的数学，也要跑得出漂亮的图。”她以自己从博士阶段研究色散方程到如今深耕几何流数值方法为例，说明科研方向可以随着兴趣和时代需求而演变，但扎实的基本功和对问题的敏锐洞察力永远是核心竞争力。

报告结束后，现场师生围绕高阶格式的实现细节、BGN格式与其他参数化方法的对比、未来在机器学习中的潜在应用等问题与苏教授展开热烈讨论。陈传军院长在总结发言中指出，苏春梅教授的报告清晰展示了从“网格质量困境”出发，经过精巧的数学构造，最终实现高效算法的完整研究路径。这对于推动我校计算数学学科在几何偏微分方程数值解法方向的发展具有重要启发意义。

苏春梅，博士毕业于北京大学，先后在北京计算科学研究中心、新加坡国立大学、奥地利因斯布鲁克大学、德国慕尼黑工业大学从事博士后研究。2021年加入清华大学丘成桐数学科学中心，任助理教授。研究领域包括色散类方程与几何偏微分方程的计算方法与数值分析。